Matematicas

ONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y oredenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos numeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunivoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localización de un punto en el plano cartesiano

[editar]Como distancia a los ejes

En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado , siendo  la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje horizontal) e  la distancia al otro eje (al vertical).

En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada , el signo positivo (también se omite) indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (en ningún caso se omiten los signos negativos).

A la coordenada  se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la  se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , así que serán de la forma , mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a , por lo que serán de la forma .

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia  a cada uno de los ejes, luego su abscisa será  y su ordenada también será . A este punto —el — se le denominaorigen de coordenadas.

Ecuaciones de la recta en el plano

Artículo principal: funcion lineal.

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la funcion lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuacion pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas.	Rectas horizontales.	Rectas verticales.

• Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto . La ecuación de dichas rectas es:

• Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto . La ecuación de dichas rectas es:

• Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas  y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el  se denomina ordenada en el origen.

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Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo: 

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Ecuación Canónica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3 

x ² + y ² = 3²

Ecuación General de la Circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:Prueba:Ejemplo: 

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4 

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24